Формулы по математике CSCA: темы для повторения перед экзаменом

На математике CSCA опасно не столько забыть сложную формулу, сколько потратить три минуты на ту, которую вы «примерно помните»: на 48 вопросов даётся только 60 минут.

Официальная программа 2025 года делит математику на четыре модуля: множества и неравенства, функции, геометрия и алгебра, вероятность и статистика. Ниже — рабочий список тем для повторения, а не копия экзаменационных заданий.

Формат экзамена

• 60 минут;
• 48 заданий с выбором одного ответа;
• 100 баллов;
• китайский или английский язык по требованиям выбранного университета.

Среднее время — 75 секунд на вопрос. Это не значит, что каждый вопрос должен занять ровно столько: быстрые задания покупают время для сложных.

1. Множества и неравенства

Проверьте, умеете ли вы без паузы:

• находить объединение, пересечение и дополнение;
• работать с промежутками;
• решать квадратные неравенства;
• учитывать область допустимых значений в рациональных выражениях;
• применять свойства модуля.

Ключевые опоры:

• дискриминант: D = b² - 4ac;
• корни: x = (-b ± √D) / 2a;
• знак квадратного трёхчлена по ветвям параболы и корням;
• |x| < a, |x| > a и их геометрический смысл.

Частая ошибка: решить числитель рационального неравенства и забыть нули знаменателя.

2. Функции

В программу входят область определения и множество значений, монотонность, чётность и нечётность, а также основные виды функций.

Повторите:

• степенные функции;
• экспоненты;
• логарифмы;
• тригонометрию;
• преобразования графиков;
• композицию и обратную функцию.

Минимальный набор:

• a^(x+y) = a^x · a^y;
• log_a(xy) = log_a x + log_a y;
• log_a(x/y) = log_a x - log_a y;
• log_a x = ln x / ln a;
• sin²x + cos²x = 1;
• sin(α ± β) и cos(α ± β);
• формулы двойного угла.

Не учите тождество отдельно от области определения и знака функции.

3. Последовательности

В программу входят арифметическая и геометрическая прогрессии: общий член и сумма.

Арифметическая

• a_n = a_1 + (n - 1)d;
• S_n = n(a_1 + a_n)/2;
• S_n = n[2a_1 + (n - 1)d]/2.

Геометрическая

• a_n = a_1q^(n-1);
• S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q), если q ≠ 1;
• сумма бесконечной прогрессии S = a_1/(1-q) при |q| < 1.

4. Производная и основы анализа

Нужно знать определение производной, её геометрический смысл и простые применения.

Повторите:

• производную степени;
• производную суммы и произведения;
• касательную;
• интервалы возрастания и убывания;
• экстремумы;
• простую оптимизацию.

Опоры:

• (x^n)' = nx^(n-1);
• (uv)' = u'v + uv';
• тангенс угла наклона касательной равен значению производной;
• критическая точка не всегда экстремум — проверяйте изменение знака.

5. Аналитическая геометрия

В программу входят прямые, окружности, эллипсы, гиперболы и параболы.

Нужно узнавать:

• y = kx + b;
• расстояние между двумя точками;
• середину отрезка;
• уравнение окружности (x-a)² + (y-b)² = r²;
• стандартные формы конических сечений;
• фокусы, вершины и асимптоты в базовых задачах.

Рисуйте быстрый эскиз. Один рисунок часто спасает от знака, который не спасёт память.

6. Векторы, комплексные числа и стереометрия

Повторите:

• сложение и длину вектора;
• скалярное произведение;
• угол между векторами;
• базовые операции с a + bi;
• модуль комплексного числа;
• координаты в пространстве;
• площади и объёмы простых тел.

Формулы:

• a·b = |a||b|cosθ;
• |a+bi| = √(a²+b²);
• расстояние в 3D: √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²].

7. Вероятность и статистика

Официально включены классическая вероятность, среднее значение, дисперсия и основы нормального распределения.

Проверьте:

• P(A) = m/n в равновозможной модели, где m — число благоприятных исходов, а n — число всех исходов;
• вероятность противоположного события: P(Ā) = 1 - P(A);
• сложение вероятностей;
• независимые события;
• среднее;
• дисперсию;
• смысл стандартного отклонения;
• симметрию нормального распределения.

Не путайте независимость и несовместность: это разные свойства.

Как повторять за 7 дней

1. День 1: диагностика 48 вопросов за 60 минут.
2. День 2: неравенства и функции.
3. День 3: последовательности и производная.
4. День 4: аналитическая геометрия.
5. День 5: векторы, комплексные числа, стереометрия.
6. День 6: вероятность и статистика.
7. День 7: полный тест и журнал ошибок.

Формулу нужно не «прочитать», а применить в трёх разных задачах под таймером.

Что повторить перед экзаменом

Математика CSCA проверяет широкую школьную базу в условиях жёсткого ограничения по времени. Секретный сборник формул не заменяет автоматизм.

Не самый приятный совет: перестаньте повторять только любимые темы. Балл чаще теряется там, куда не хочется смотреть.